A permutációk és kombinációk nagyon sok alkalmazásban szuperhatásosak - a számítógépes programozástól a valószínűségelmélettől a genetikáig.
Egymás mellett fogom bemutatni ezt a két fogalmat, így láthatja, mennyire hasznosak.
A legfontosabb különbség e két fogalom között a rendezés. A Permutations alkalmazással az elemek listájára összpontosít, ahol a sorrendjük számít.
Például 1977- ben születtem . Ez az 1. szám , amelyet a 9. , majd a 7. , majd a 7. szám követ . Abban a bizonyos sorrendben.
Ha helyettem a sorrendet 7917-re változtatom, az egészen más év lenne. Így a sorrend számít .
A kombinációk másrészt, a hangsúly a csoportok elemeinek, ahol a rend nem nem számít.
A csésze kávéhoz hasonlóan a kávé , a cukor és a víz kombinációja . Nem számít, hogy melyik sorrendben adom hozzá ezeket az összetevőket. Lehet víz , cukor és kávé is , ez még mindig ugyanaz a csésze kávé. Így a sorrend nem számít.
Most nézzük meg közelebbről ezeket a fogalmakat.
1. rész: Permutációk
Permutációk, ahol az ismétlés megengedett
Képzelje el, hogy új telefont kapott. Amint elkezdi használni ezt az új telefont, egy bizonyos ponton meg kell kérnie egy jelszó beállítását.
A jelszónak 4 számjegyből kell állnia . Bármely 4 számjegy. És megismétlődhetnek.
Vannak 10 számjegy összesen kezdeni. Ezek a következők: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tehát jelszavának első számjegyéhez 10 választási lehetőség van.
Mivel újra használhatja ugyanazt a számjegyet, jelszavunk második számjegyének ismét 10 választási lehetősége lesz ! Így az eddigi jelszószámok közül kettőt választva a permutációk 10-szerese 10, vagy 10 x 10 = 100 vagy 102 .
Ugyanez vonatkozik a jelszó harmadik számjegyére is. Ismét ugyanazon 10 választás közül választhat. Ezúttal 10-szer 10-szer 10 , vagy 10 x 10 x 10 = 1000 vagy 103 permutációval rendelkezik.
Végül a jelszó negyedik számjegye és ugyanaz a 10 számjegy közül választhatunk, 10-szer 10-szer 10-szer 10 , vagy 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000 vagy 104 permutációval.
Amint valószínűleg észrevette, négy választási lehetősége volt, és négyszer 10- szeresét (10 x 10 x 10 x 10) megszorozta, hogy elérje a permutációk teljes számát (10 000). Ha kellett választani 3 számjegy a jelszavát, akkor szorozza 10 három alkalommal. Ha 7 , akkor hétszer csinálná , és így tovább.
De az élet nem csak a választott számjegyű jelszavakról szól. Mi van, ha születésnapi partiját rendezi és 5 színes lufit kell választania 20 elérhető színből?
Mivel 20 különböző szín közül választhat, és ismét ugyanazt a színt választhatja, minden léggömbhöz 20 választási lehetőség van. Az első léggömb 20 , a második léggömb 20-szorosa 20 , vagy 20 x 20 = 400 stb. Az ötödik ballonhoz 20 x 20 x 20 x 20 x 20 = 3 200 000 vagy 205 permutációt kap.
Összefoglaljuk az általános szabályt: amikor a sorrend számít és megismételhető, ha n a választani kívánt dolgok száma (léggömbök, számjegyek stb.), És közülük r-t választ (5 léggömböt a partihoz, 4 számjegyet a jelszóhoz) stb.), a permutációk száma megegyezik P = nr .
Permutációk, ahol az ismétlés nem engedélyezett
Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor az ismétlés nem megengedett . Példaként a Naprendszerünk bolygóit vizsgáljuk.
Hány különböző módon rendezheti el ezt a 8 bolygót? A bolygók: Merkúr , Vénusz , Föld , Mars , Jupiter , Szaturnusz , Uránusz és Neptunusz . Mondjuk a Merkúr kiválasztása után nem választhatja újra. Így a bolygó minden egyes kiválasztásakor csökkentenie kell a rendelkezésre álló választások számát.
Az első választásnak 8 lehetősége lesz . A második választás 8 mínusz 1 egyenlő 7 lehetőséggel jár, majd 6 , majd 5 , majd 4 következik, amíg 1 bolygó nem marad a listán.
Az előző szcenárió logikáját követve a permutációk teljes száma: P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40 320 .
Más szavakkal, ez egy egész szám és az alatta lévő összes pozitív egész szorzata. Ezt a terméket Factorialnak hívják, és ezt felkiáltójellel jelölik: 8!
A permutációk száma egyenlő P = 8! vagy általánosabban P = n!
Mi van, ha ebből a 8 bolygóból csak mondjuk 5-öt kell elrendeznie az összes helyett? Akkor csak az első 5 lépést teszi meg módszerünkben. Ugyanis P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 lesz, hogy hányféleképpen rendezhet 5 bolygót a 8-ból .
De miért álljon meg itt? Miért ne alkalmaznánk logikánkat egy általánosabb képlet kidolgozására? Annak érdekében, hogy a fenti jelölés könnyen megjegyezhető legyen bármilyen számú objektum esetében, egy trükköt fogunk használni. Törtrészben a számláló és a nevező szorzata ugyanazzal a számmal (a nulla kivételével) nem befolyásolja ezt a részt. Így:
Az n = 8 közül választható bolygók száma , közülük r = 5 közül választhat . Ha a számokat a fenti képletre cseréljük, akkor P = 8 lesz! / (8 - 5)! = 8! / 3! . Ugyanaz, mint 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 .
Innen levezethető a korábbi példa eredménye. Ott a 8 rendelkezésre álló bolygó közül mind a 8-at elrendezte . Az új képletet használva P = 8! / (8 - 8)! = 8! / 0! . Mivel faktoriálisát nulla állapodtak meg 1-gyel egyenlő , P = 8! / 1 = 8 !. Vagy általánosabban:
P = n! / (n - n)! = n! / 0! = n! .
Egy gyakran használt rövid és kényelmes jelölés: P (n, r) = n! / (n - r)!
A képletekre való emlékezés fontos. De ami még fontosabb a valós életproblémák megoldásában, az az, hogy tudd, mely formulákat használd az egyes helyzetekben. A gyakorlat segít.
Pop kvíz:
A bajnokság zajlik, és hat csapat versenyez. Az első helyezett aranyat, a második pedig ezüstérmet kap. Hány különböző módon kaphatnak érmet ezek a csapatok?
Válasszon 1 választ
30
360
720
15
Beküldés
Magyarázat: 6 csapat közül választhat. Így n = 6 . Az arany és az ezüst együttesen 2 érmet adományoz. Így r = 2 . Ha ezeket a számokat behelyettesítjük a képletébe, akkor P (6, 2) = 6 lesz! / (6 - 2)! = 6! / 4! = 6 x 5 = 30 .
2. rész Kombinációk
Ismétlés nélküli kombinációk
Az összehasonlítás élénkebbé tétele érdekében nézzük át a bolygókiválasztási példánkat. Mi van, ha csak a bolygókat választja, és nem a megjelenés sorrendjét?
Ott 6720 különféle módja volt a 8 bolygó 5 elrendezésére. De mivel a megjelenés sorrendje most nem számít, sok ilyen módszer felesleges . Nálunk is egyformák.
Egy csoport Venus, Föld, Mars, Jupiter, Szaturnusz azonos csoport , mint Mars, Jupiter, Vénusz, Föld, Szaturnusz és a csoport , mint a Szaturnusz, Mars, a Föld, a Jupiter, Venus. Ez csak ugyanazon 5 bolygó különböző szekvenciája.
Hány olyan csoportod van, amelyek azonosak? Ha csoportonként r bolygókat választ , akkor r-t kap ! csoportok. Ha r = 5 , akkor r-t kap ! = 5! = 120 csoport.
Így a felesleges azonos csoportok kiküszöbölése érdekében elosztja az eredeti 6720 permetezés számát 5- tel ! . Az eredmény 6720/120 = 56 .
Az általánosítás érdekében a kombinációk számának eléréséhez ki kell derítenie az összes engedélyt és el kell osztania az összes elbocsátással .
Rövid és kényelmes jelölés használata: C (n, r) = P (n, r) / r! = n! / (r! (n - r)!)
Ez feltételezi, hogy a sorrend nem számít, és nincsenek ismétlések (vagyis - csak egy Jupiter közül lehet választani).
Nézzük át a verseny példáját:
A bajnokság zajlik, és hat csapat versenyez. Az első helyezett aranyat, a második pedig ezüstérmet kap. Hány éremesélyes csoport lehetséges? A csapatok sorrendje nem számít
Válasszon 1 választ
360
15
30
720
Beküldés
Mint korábban, 6 csapata van. Így n = 6 . Két érmet osztanak ki, tehát r = 2 . Ezúttal azonban nem mindegy, ki nyer aranyat és ki ezüstöt. A csapat arany és a csapat ezüst megegyezik a csapat ezüsttel és a csapat aranyával. Ha ezeket a számokat behelyettesítjük a képletünkbe, akkor C (6, 2) = 6 lesz! / (2! (6 - 2)!) = 6! / 2! 4! = 15 .
Kombinációk ismétléssel
A cikk befejezéséhez egy esetben különös figyelmet kell fordítani. Eddig a Kombinációinkban feltételeztük, hogy nincs ismétlés. Nincs két egyforma elem.
Mi van, ha lehet , hogy az ismétlések? Mi lenne, ha - mint korábbi példánkban - egynél több azonos színű lufit választhatunk? Ha a választandó léggömbök száma n, és közülük r-t választunk , miközben megengedjük az azonos színeket és figyelmen kívül hagyjuk az elrendezés sorrendjét, akkor (n + r - 1) lesz a vége ! / (r! (n - 1)!) Kombinációk .
Összefoglalva, itt egy táblázat, amelyre hivatkozhat ezekre a fogalmakra és képleteikre.
Remélem, hogy ez a cikk segített jobban megérteni ezt a két fontos matematikai fogalmat. Köszönöm, hogy elolvasta.