A négyzetképlet kitöltése: A négyzet kiegészítése másodfokú egyenlettel

Tekintsük a következő másodfokú egyenletet: x2 = 9 . Ha felkérést kapunk a megoldás megoldására, akkor természetesen a 9 négyzetgyökét vesszük , és 3 és -3 leszünk . De mi van, ha az egyszerű négyzetgyökös módszerek nem működnek? Mi van, ha az egyenlet az első hatványra emelt x-et tartalmazza, és nem lehet könnyen beleszámítani?

Szerencsére van egy módszer a négyzet befejezésére . Ennek eredményeként a másodfokú egyenlet megoldható a négyzetgyök felvételével. Fedezzük fel ezt lépésről lépésre együtt.

Tegyük fel, hogy a következő egyenletet kapjuk:

1. PÉLDA: A négyzet kitöltése

1. LÉPÉS: Válassza el a változó feltételeket az állandó időtartamtól

Egyszerűsítsük egyenletünket. Először válassza el a változókat tartalmazó kifejezéseket az állandó feltételektől. Ezután vonja le x -et 13x-ból (az eredmény 12x ), és vonjon le 7 -et 6-ból (az eredmény -1 ).

2. LÉPÉS: Győződjön meg arról, hogy az X négyzet együtthatója egyenlő 1-vel

A négyzet kitöltésének módszere sokkal könnyebben működik, ha az x2 együttható megegyezik1 . Az együttható esetünkben 4 . Osztás4 minden tagba x2 + 3x = - 1/4 .

3. LÉPÉS: Töltse ki a négyzetet

Először meg kell találnunk a teljes négyzetünk állandó tagját. Az x együttható , amely megegyezikA 3- at elosztjuk 2-vel és négyzetre osztjuk , így 9/4-et kapunk .

Ezután a fentiek szerint összeadjuk és kivonjuk a 9/4- et. Ez nem befolyásolja az egyenletünket ( 9/4 - 9/4 = 0 ), de kifejezést ad az x2 + 3x + 9/4 teljes négyzetre .

4. LÉPÉS: Faktor Az X kifejezés + 3X + 9/4 négyzet

Emlékezzünk most egy általánosabbra (x + a) 2 = x2 + 2ax + a2, és használjuk az aktuális példában. Számunk behelyettesítése:   x2 + 3x + 9/4 = x2 + 2 * (3/2) * x + (3/2) 2 = (x + 3/2) 2 .

5. LÉPÉS: Vegye a négyzetgyökeret

Végül, ha a négyzetgyököt mindkét oldalról vesszük, akkor √ (x + 3/2) 2 = ± √2 . Vagy egyszerűenx + 3/2 = ± √2 . Erre úgy következtetünk, hogy megoldjuk x-re : X 1 = √2 - 3/2és X 2 = - √2 - 3/2 .

2. PÉLDA: Oldjunk meg még egyet

1. LÉPÉS: Válassza el a változó feltételeket az állandó időtartamtól

Egyszerűsítsen úgy, hogy elválasztja a változóval rendelkező kifejezéseket az állandó feltételektől. Ezután végezzen kivonást és összeadást az egyenlet mindkét oldalán.

2. LÉPÉS: Győződjön meg arról, hogy az x négyzet együtthatója egyenlő 1-vel

Itt az X2 együttható már megegyezik 1-vel , így nincs szükség további lépésekre.

3. LÉPÉS: Töltse ki a négyzetet

Az előző példához hasonlóan megtaláljuk a teljes négyzetünk állandó tagját. Az x együttható , amely megegyezik-8 el van osztva 2-vel és négyzettel, így 16-ot kapunk .

Összeadunk és kivonunk 16-ot, és láthatjuk, hogy az x2 - 8x + 16 teljes négyzetet ad nekünk.

4. LÉPÉS: Faktor Az X kifejezés négyzete - 8X + 16

Mivel a -8 állandó kifejezés a mínusz előjellel van, ezt az általános alakot használjuk: (x - a) 2 = x2 - 2ax + a2 . Számaink felhasználásával megkapjuk: x2 - 8x + 16 = x2 - 2 * (4) * x + (4) 2 = (x - 4) 2 .                              

5. LÉPÉS: Vegye a négyzetgyökeret

Végül, ha a négyzetgyököt mindkét oldalról vesszük, akkor √ (x - 4) 2 = ± √11 . Vagy egyszerűenx - 4 = ± √11 . Erre úgy következtetünk, hogy megoldjuk x-re : X 1 = 4 + √11és X 2 = 4 - √11

És itt van!