Bináris keresési fák: BST példákkal magyarázva

Programozás

Mi az a bináris keresési fa?

A fa egy csomópontokból álló adatszerkezet, amely a következő jellemzőkkel rendelkezik:

  1. Minden fa tetején van egy gyökércsomópont (más néven Szülőcsomópont), amely tartalmaz valamilyen értéket (bármilyen típusú adattípus lehet).
  2. A gyökércsomópontnak nulla vagy több gyermekcsomópontja van.
  3. Minden gyermekcsomópontnak nulla vagy több gyermekcsomópontja van, és így tovább. Ez létrehoz egy részfát a fában. Minden csomópontnak megvan a maga alfája, amely a gyermekeiből és gyermekeikből áll, stb. Ez azt jelenti, hogy minden csomópont önmagában fa lehet.

A bináris keresési fa (BST) hozzáadja ezt a két jellemzőt:

  1. Minden csomópontban legfeljebb két gyermek van.
  2. Minden csomópontnál a bal leszármazott csomópontok értéke kisebb, mint az aktuális csomópont értéke, ami viszont kisebb, mint a jobb leszármazott csomópontok (ha vannak).

A BST a bináris keresési algoritmus ötletére épül, amely lehetővé teszi a csomópontok gyors megkeresését, beillesztését és eltávolítását. Beállításuk módja azt jelenti, hogy átlagosan minden egyes összehasonlítás lehetővé teszi a műveletek számára a fa körülbelül felének átugrását, így minden egyes megkeresés, beillesztés vagy törlés időbe telik a fában tárolt elemek számának logaritmusával arányosan,   O(log n). Néha azonban előfordulhat a legrosszabb eset is, amikor a fa nincs kiegyensúlyozva, és az idő összetettsége   O(n)  mindhárom funkcióra vonatkozik. Ezért az önkiegyensúlyozó fák (AVL, vörös-fekete stb.) Sokkal hatékonyabbak, mint az alap BST.

Példa a legrosszabb esetre:  Ez akkor fordulhat elő, ha folyamatosan olyan csomópontokat ad hozzá, amelyek   mindig  nagyobbak, mint az előző csomópont (annak szülője), ugyanez történhet, ha mindig olyan csomópontokat ad hozzá, amelyek értéke alacsonyabb, mint a szüleiké.

Alapvető műveletek BST-n

  • Create: létrehoz egy üres fát.
  • Beszúrás: csomópont beillesztése a fába.
  • Keresés: Csomópontot keres a fában.
  • Törlés: egy csomópont törlése a fáról.
  • Inorder: a fa rendezett bejárása.
  • Előrendelés: a fa előzetes bejárása.
  • Postorder: a fa utólagos bejárása.

Teremt

Kezdetben egy üres fa jön létre csomópontok nélkül. A változó / azonosító, amelynek a gyökércsomópontra kell mutatnia, egy NULL  értékkel inicializálódik   .

Keresés

Mindig elkezdi keresni a fát a gyökércsomópontnál, és onnan megy le. Összehasonlítja az egyes csomópontok adatait a keresettekkel. Ha az összehasonlított csomópont nem egyezik, akkor vagy a jobb vagy a bal gyermek felé halad, ami a következő összehasonlítás eredményétől függ: Ha a keresett csomópont alacsonyabb, mint amellyel összehasonlította, a bal gyermekhez haladsz, különben (ha nagyobb) a jobb gyerekhez lépsz. Miért? Mivel a BST felépítése (definíciójának megfelelően), hogy a jobb gyermek mindig nagyobb, mint a szülő, a bal gyermek pedig mindig kisebb.

Szélesség-első keresés (BFS)

A szélesség első keresése egy algoritmus, amelyet a BST áthaladására használnak. A gyökércsomópontnál kezdődik, és oldalirányban halad (oldalról a másikra), a kívánt csomópontot keresve. Ez a típusú keresés O (n) néven írható le, mivel minden csomópontot egyszer meglátogattak, és a fa mérete közvetlenül összefügg a keresés hosszával.

Mélység-első keresés (DFS)

A Mélység-első keresési megközelítéssel a gyökércsomópontból indulunk, és egyetlen ágon haladunk lefelé. Ha a kívánt csomópont megtalálható az elágazás mentén, nagyszerű, de ha nem, folytassa felfelé, és keresse meg a nem látogatott csomópontokat. Ez a típusú keresés szintén nagy O (n) O jelöléssel rendelkezik.

Helyezze be

Nagyon hasonlít a keresési funkcióhoz. Ismét a fa gyökeréből indul ki, és rekurzívan megy lefelé, keresve a megfelelő helyet az új csomópont beszúrásához, ugyanúgy, ahogyan azt a keresési funkció ismerteti. Ha az azonos értékű csomópont már benne van a fában, választhatja, hogy beszúrja-e a duplikátumot, vagy sem. Egyes fák megengedik a másolatokat, mások nem. Ez a bizonyos megvalósítástól függ.

Törlés

Három eset fordulhat elő, amikor egy csomópontot próbál törölni. Ha van,

  1. Nincs alfa (nincs gyerek): Ez a legkönnyebb. Egyszerűen csak törölheti a csomópontot, további műveletek nélkül.
  2. Egy alfa (egy gyermek): Meg kell győződnie arról, hogy a csomópont törlése után gyermeke csatlakozik a törölt csomópont szülőihez.
  3. Két részfa (két gyermek): Meg kell találnia és ki kell cserélnie a törölni kívánt csomópontot annak utódaival (a bal oldali csomópont a jobb részfában).

A fa létrehozásának időbeli összetettsége   O(1). A csomópont keresésének, beillesztésének vagy törlésének bonyolultsága a fa magasságától függ   h, így a legrosszabb esetben   O(h)  ferde fák fordulnak elő.

Egy csomópont elődje

Az elődök leírhatók, mint azok a csomópontok, amelyek közvetlenül a csomópont előtt jönnének. Az aktuális csomópont elődjének megtalálásához nézze meg a bal oldali fán a jobb oldali legtöbb / legnagyobb levélcsomópontot.

Egy csomópont utódja

Az utódok leírhatók, mint azok a csomópontok, amelyek közvetlenül az aktuális csomópont után jönnének. Az aktuális csomópont utódjának megtalálásához nézze meg a bal oldali / legkisebb levélcsomópontot a jobb alfában.

A BT speciális típusai

  • Halom
  • Vörös-fekete fa
  • B-fa
  • Splay fa
  • N-ary fa
  • Trie (Radix-fa)

Futásidő

Adatszerkezet: BST

  • Legrosszabb eset:  O(n)
  • Legjobb teljesítmény:  O(1)
  • Átlagos teljesítmény:  O(log n)
  • A legrosszabb eset bonyolultsága:  O(1)

Hol   n  van a csomópontok száma a BST-ben. A legrosszabb eset az O (n), mivel a BST kiegyensúlyozatlan lehet.

A BST megvalósítása

Itt van egy definíció egy BST-csomópontra, amely rendelkezik néhány adattal, hivatkozva a bal és jobb gyermekcsomópontjára.

struct node { int data; struct node *leftChild; struct node *rightChild; };

Keresés művelet

Amikor egy elemet keresni kíván, kezdje el a keresést a gyökércsomóponttól. Ezután, ha az adatok kisebbek, mint a kulcsérték, keresse meg az elemet a bal alfában. Ellenkező esetben keresse meg az elemet a jobb részfában. Kövesse ugyanazt az algoritmust minden csomópontnál.

struct node* search(int data){ struct node *current = root; printf("Visiting elements: "); while(current->data != data){ if(current != NULL) { printf("%d ",current->data); //go to left tree if(current->data > data){ current = current->leftChild; }//else go to right tree else { current = current->rightChild; } //not found if(current == NULL){ return NULL; } } } return current; }

Helyezze be a műveletet

Whenever an element is to be inserted, first locate its proper location. Start searching from the root node, then if the data is less than the key value, search for the empty location in the left subtree and insert the data. Otherwise, search for the empty location in the right subtree and insert the data.

void insert(int data) { struct node *tempNode = (struct node*) malloc(sizeof(struct node)); struct node *current; struct node *parent; tempNode->data = data; tempNode->leftChild = NULL; tempNode->rightChild = NULL; //if tree is empty if(root == NULL) { root = tempNode; } else { current = root; parent = NULL; while(1) { parent = current; //go to left of the tree if(data data) { current = current->leftChild; //insert to the left if(current == NULL) { parent->leftChild = tempNode; return; } }//go to right of the tree else { current = current->rightChild; //insert to the right if(current == NULL) { parent->rightChild = tempNode; return; } } } } }

Delete Operation

void deleteNode(struct node* root, int data){ if (root == NULL) root=tempnode; if (data key) root->left = deleteNode(root->left, key); else if (key > root->key) root->right = deleteNode(root->right, key); else { if (root->left == NULL) { struct node *temp = root->right; free(root); return temp; } else if (root->right == NULL) { struct node *temp = root->left; free(root); return temp; } struct node* temp = minValueNode(root->right); root->key = temp->key; root->right = deleteNode(root->right, temp->key); } return root; }

Binary search trees (BSTs) also give us quick access to predecessors and successors. Predecessors can be described as the node that would come right before the node you are currently at.

  • To find the predecessor of the current node, look at the rightmost/largest leaf node in the left subtree. Successors can be described as the node that would come right after the node you are currently at.
  • To find the successor of the current node, look at the leftmost/smallest leaf node in the right subtree.

Let's look at a couple of procedures operating on trees.

Since trees are recursively defined, it's very common to write routines that operate on trees that are themselves recursive.

So for instance, if we want to calculate the height of a tree, that is the height of a root node, We can go ahead and recursively do that, going through the tree. So we can say:

  • For instance, if we have a nil tree, then its height is a 0.
  • Otherwise, We're 1 plus the maximum of the left child tree and the right child tree.
  • So if we look at a leaf for example, that height would be 1 because the height of the left child is nil, is 0, and the height of the nil right child is also 0. So the max of that is 0, then 1 plus 0.

Height(tree) algorithm

if tree = nil: return 0 return 1 + Max(Height(tree.left),Height(tree.right))

Here is the code in C++

int maxDepth(struct node* node) { if (node==NULL) return 0; else { int rDepth = maxDepth(node->right); int lDepth = maxDepth(node->left); if (lDepth > rDepth) { return(lDepth+1); } else { return(rDepth+1); } } }

We could also look at calculating the size of a tree that is the number of nodes.

  • Again, if we have a nil tree, we have zero nodes.
  • Otherwise, we have the number of nodes in the left child plus 1 for ourselves plus the number of nodes in the right child. So 1 plus the size of the left tree plus the size of the right tree.

Size(tree) algorithm

if tree = nil return 0 return 1 + Size(tree.left) + Size(tree.right)

Here is the code in C++

int treeSize(struct node* node) { if (node==NULL) return 0; else return 1+(treeSize(node->left) + treeSize(node->right)); }

Traversal

There are 3 kinds of traversals that are done typically over a binary search tree. All these traversals have a somewhat common way of going over the nodes of the tree.

In-order

This traversal first goes over the left subtree of the root node, then accesses the current node, followed by the right subtree of the current node. The code represents the base case too, which says that an empty tree is also a binary search tree.

void inOrder(struct node* root) { // Base case if (root == null) { return; } // Travel the left sub-tree first. inOrder(root.left); // Print the current node value printf("%d ", root.data); // Travel the right sub-tree next. inOrder(root.right); }

Pre-order

This traversal first accesses the current node value, then traverses the left and right sub-trees respectively.

void preOrder(struct node* root) { if (root == null) { return; } // Print the current node value printf("%d ", root.data); // Travel the left sub-tree first. preOrder(root.left); // Travel the right sub-tree next. preOrder(root.right); }

Post-order

This traversal puts the root value at last, and goes over the left and right sub-trees first. The relative order of the left and right sub-trees remain the same. Only the position of the root changes in all the above mentioned traversals.

void postOrder(struct node* root) { if (root == null) { return; } // Travel the left sub-tree first. postOrder(root.left); // Travel the right sub-tree next. postOrder(root.right); // Print the current node value printf("%d ", root.data); }

Relevant videos on freeCodeCamp YouTube channel

And Binary Search Tree: Traversal and Height

Following are common types of Binary Trees:

Full Binary Tree/Strict Binary Tree: A Binary Tree is full or strict if every node has exactly 0 or 2 children.

 18 / \ / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40

In Full Binary Tree, number of leaf nodes is equal to number of internal nodes plus one.

Complete Binary Tree: A Binary Tree is complete Binary Tree if all levels are completely filled except possibly the last level and the last level has all keys as left as possible

 18 / \ / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40 / \ / 8 7 9

Perfect Binary Tree A Binary tree is Perfect Binary Tree in which all internal nodes have two children and all leaves are at the same level.

 18 / \ / \ 15 30 / \ / \ 40 50 100 40

Augmenting a BST

Sometimes we need to store some additional information with the traditional data structures to make our tasks easier. For example, consider a scenario where you are supposed to find the ith smallest number in a set. You can use brute force here but we can reduce the complexity of the problem to O(lg n) by augmenting a red-black or any self-balancing tree (where n is the number of elements in the set). We can also compute rank of any element in O(lg n) time. Let us consider a case where we are augmenting a red-black tree to store the additional information needed. Besides the usual attributes, we can store number of internal nodes in the subtree rooted at x(size of the subtree rooted at x including the node itself). Let x be any arbitrary node of a tree.

x.size = x.left.size + x.right.size + 1

While augmenting the tree, we should keep in mind, that we should be able to maintain the augmented information as well as do other operations like insertion, deletion, updating in O(lg n) time.

Since, we know that the value of x.left.size will give us the number of nodes which proceed x in the order traversal of the tree. Thus, x.left.size + 1 is the rank of x within the subtree rooted at x.