Logikai algebrai igazságtábla oktatóanyag - XOR, NOR és logikai szimbólumok magyarázata

Mindannyian szeretjük a számítógépeket. Nagyon sok csodálatos dolgot képesek megtenni. Néhány évtizeden belül a számítógépek teljesen forradalmasították az emberi élet szinte minden aspektusát.

Különböző kifinomultságú feladatokat tudnak elvégezni, mindezt csak nullák és egerek megfordításával. Figyelemre méltó látni, hogyan vezethet egy ilyen egyszerű cselekedet ennyire bonyolulttá.

De biztos vagyok benne, hogy mindannyian tudjátok, hogy ilyen bonyolultság nem érhető el (gyakorlatilag) a számok véletlenszerű megfordításával. Valóban van valami érvelés a háttérben. Vannak olyan szabályok, amelyek ezt szabályozzák. Ebben a cikkben megvitatjuk ezeket a szabályokat, és meglátjuk, hogyan irányítják a számítógépek "gondolkodását".

Mi az a logikai algebra?

A fent említett szabályokat egy matematikai terület írja le, amelynek neve Boolean Algebra.

George Boole brit matematikus 1854-es könyvében szisztematikus szabályrendszert javasolt az igazságértékek manipulálására. Ezek a szabályok matematikai alapot adtak a logikai javaslatok kezeléséhez. Ezek az alapok a Boolean Algebra fejlődéséhez vezettek.

A logikai algebra legjobb megértéséhez először meg kell értenünk a logikai algebra és az algebra más formái közötti hasonlóságokat és különbségeket.

Az Algebra általában a matematikai szimbólumok és az ezeken a szimbólumokon végrehajtható műveletek tanulmányozásával foglalkozik.

Ezeknek a szimbólumoknak nincs saját jelentésük. Valamilyen más mennyiséget képviselnek. Ez a mennyiség ad némi értéket ezeknek a szimbólumoknak, és ez a mennyiség az, amelyen a műveleteket ténylegesen végrehajtják.

A Boole-algebra foglalkozik a szimbólumokkal és azokkal a szabályokkal is, amelyek az ezeken a szimbólumokon végzett műveleteket szabályozzák, de a különbség abban rejlik, hogy mit jelképeznek ezek a szimbólumok .

A hétköznapi algebra esetében a szimbólumok a valós számokat, míg a logikai algebra az Igazság értékeit képviselik.

Az alábbi kép a valós számok teljes készletét mutatja. A valós számok halmaza tartalmazza a természetes számokat (1, 2, 3, 4 ....), az egész számokat (az összes természetes számot és a 0-t), az egész számokat (.....- 2, -1, 0, 1, 2, 3 ...) és így tovább. A hétköznapi algebra ezzel a teljes számkészlettel foglalkozik.

Az Igaz értékek ehhez képest csak két értékből állnak: Hamis és Igaz. Itt szeretnék rámutatni arra a tényre, hogy bármely más szimbólumot használhatunk ezen értékek képviseletére.

Például a számítástechnikában ezeket az értékeket többnyire 0 és 1 felhasználásával ábrázoljuk.

Azt is megteheti, hogy fantasztikusabb módon képviseli az igazság értékeit néhány más szimbólummal, például Macskák és Kutyák vagy Banán és Narancs.

A lényeg itt az, hogy ezeknek a szimbólumoknak a belső jelentése a használt szimbólumtól függetlenül ugyanaz marad. De ügyeljen arra, hogy a műveletek végrehajtása közben ne változtassa meg a szimbólumokat.

Most az a kérdés, hogy ha (Igaz és Hamis), (0 és 1) csak a reprezentációk, akkor mi az, amit megpróbálnak képviselni?

Az igazságértékek mögött álló jelentés a logika azon területéből származik, ahol az igazságértékeket használják annak megállapítására, hogy egy állítás "igaz" vagy "hamis". Itt az igazságértékek képviselik a propozíció és az igazság viszonyát, vagyis hogy a propozíció igaz vagy hamis.

A javaslat csak egy olyan kijelentés, mint "Minden macska aranyos".

Ha a fenti állítás igaz, akkor az "Igaz" vagy "1" igazságértéket rendeljük hozzá, különben "Hamis" vagy "0" értéket rendelünk hozzá.

A digitális elektronikában az igazságértékeket használják az elektronikus áramkörök "be" és "kikapcsolt" állapotának képviseletére. Erről a cikk későbbi szakaszában fogunk többet megbeszélni.

Logikai műveletek és igazságtáblák

Csakúgy, mint a hétköznapi algebra, a logikai algebra is rendelkezik olyan műveletekkel, amelyek alkalmazhatók az értékekre, hogy eredményeket érjenek el. Bár ezek a műveletek nem hasonlítanak a hétköznapi algebrában leírtakra, mert, amint azt korábban tárgyaltuk, a Boole-algebra az Igazságértékeken, nem pedig a Valódi Számokon dolgozik.

A Boolean Algebra három alapvető műveletet végez.

VAGY : más néven diszjunkció . Ezt a műveletet két logikai változóval hajtják végre. Az OR művelet kimenete 0 lesz, ha mindkét operandus 0, különben 1 lesz.

Ahhoz, hogy tisztább képet kapjunk arról, hogy mi ez a művelet, megjeleníthetjük az alábbi Igazság táblázat segítségével .

Truth tables give us an insightful representation of what the Boolean operations do and they also act as a handy tool for performing Boolean operations. OR Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

ÉS : Más néven együttállás . Ezt a műveletet két logikai változóval hajtják végre. Az AND műveletek kimenete 1 lesz, amikor mindkét operandus 1, különben 0 lesz. Az igazságtáblázat ábrázolása a következő.

 AND Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

NEM : Negáció néven is ismert . Ezt a műveletet csak egy változón hajtják végre. Ha a változó értéke 1, akkor ez a művelet egyszerűen 0-ra konvertálja, és ha a változó értéke 0, akkor 1-vé alakítja.

 Not Operation Variable-1 Output 0 1 1 0 

Logikai algebra és digitális áramkörök

Kezdeti fejlesztése után a Boolean Algebra nagyon sokáig a matematika azon fogalmainak egyike maradt, amely nem volt jelentős gyakorlati alkalmazással.

Az 1930-as években Claude Shannon amerikai matematikus rájött, hogy a Boole-algebra használható olyan áramkörökben, ahol a bináris változók képviselhetik az "alacsony" és "magas" feszültségjeleket vagy "be" és "kikapcsolt" állapotokat.

Ez az egyszerű ötlet, hogy áramköröket készítsen a Boolean Algebra segítségével, a digitális elektronika fejlődéséhez vezetett, amely nagyban hozzájárult a számítógépes áramkörök fejlesztéséhez.

A digitális áramkörök a logikai algebrát a Logic Gates segítségével valósítják meg. A logikai kapuk azok az áramkörök, amelyek logikai műveletet képviselnek. Például egy OR kapu egy OR műveletet jelent. Ugyanez vonatkozik a NOT és az AND kapukra is.

Az alapvető logikai kapuk mellett vannak olyan logikai kapuk is, amelyeket az alapvető logikai kapuk kombinációjával lehet létrehozni.

NAND : A NAND kaput a NOT és az AND kapu kombinációja alkotja. A NAND gate 0 kimenetet ad, ha mindkét bemenet 1, különben 1.

A NAND gate rendelkezik a Funkcionális teljesség tulajdonságával, ami azt jelenti, hogy bármilyen logikai függvény csak NAND kapuk kombinációjával valósítható meg.

 NAND Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

NOR : A NOR kaput a NOT és a OR kapuk kombinációja alkotja. A NOR kapu 1-es kimenetet ad, ha mindkét bemenet 0, különben 0.

A NOR kapu, csakúgy, mint a NAND kapu, a Funkcionális teljesség tulajdonságával rendelkezik, ami azt jelenti, hogy bármilyen logikai funkció csak NOR kapuk kombinációjával valósítható meg.

 NOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

A legtöbb digitális áramkör NAND vagy NOR kapuk használatával épül fel funkcionális teljességi tulajdonságuk miatt, valamint azért, mert könnyen előállíthatók.

A fent említett kapukon kívül vannak speciális kapuk is, amelyek valamilyen speciális célt szolgálnak. Ezek a következők:

XOR : Az XOR kapu vagy az Exclusive-OR kapu egy speciális típusú logikai kapu, amely 0-t ad kimenetként, ha mindkét bemenet 0 vagy 1, különben 1-et ad.

 XOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

XNOR : Az XNOR gate vagy az Exclusive-NOR gate egy speciális logikai kapu, amely 1-et ad kimenetként, ha mindkét bemenet 0 vagy 1, különben 0-t ad.

 XNOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Következtetés

Tehát mindezzel most itt fejezhetjük be a logikai algebráról szóló vitánkat. Remélem, hogy mostanra már tisztességes képet kap arról, hogy miről szól a Boolean Algebra.

Ez biztosan nem minden, amit tudnia kell a Boolean Algebra-ról. A Boolean Algebra rengeteg olyan koncepcióval és részlettel rendelkezik, amelyeket ebben a cikkben nem tudtunk megvitatni.