Hogyan lehet felépíteni egy intuíciót a rekurzióhoz

És hogyan lehet használni a problémák megoldására

A rekurzió az egyik legfélelmetesebb téma, amellyel a hallgatók szembesülnek a programozás során. Nehéz megérteni, mert az emberi agy nem képes rekurzió végrehajtására - a számítógépek viszont igen. Pontosan ezért a rekurzió olyan hatékony eszköz a programozók számára, de azt is jelenti, hogy rendkívül nehéz megtanulni a használatát. Segíteni akarok a rekurziós intuíció kialakításában, hogy a problémák megoldására felhasználhassa.

Tanárasszisztens vagyok az egyetemem bevezető informatikai tanfolyamán. A rekurziót pontosan ugyanígy magyaráztam a héten egy tucatszor. Úgy tűnik, hogy a magyarázatom segít a legtöbb hallgatónak. Ennek a cikknek a tetején a legáltalánosabb, az alján a legpontosabb magyarázat található. Így kezdheti az elején, és abbahagyhatja, amint úgy érzi, hogy elég jól megértette a rekurziót. Hoztam néhány példát a Java-ban, amelyek elég egyszerűek ahhoz, hogy bárki, aki rendelkezik valamilyen programozási tapasztalattal, tudja értelmezni őket.

Mi az a rekurzió?

A rekurzió megértéséhez tegyünk egy lépést vissza a programozástól. Kezdjük azzal, hogy létrehozzuk a kifejezés általános meghatározását. Valami rekurzív, ha bizonyos mértékig a saját meghatározása határozza meg. Ez valószínűleg nem segít a rekurzió megértésében, ezért nézzünk meg egy matematikai meghatározást. Ismeri a funkciókat - egy szám megy be, egy másik jön ki. Így néznek ki:

f (x) = 2x

Változtassunk kissé ezen az elképzelésen, és inkább gondoljunk egy sorrendre. Egy sorozat egész számot vesz fel, és egy egész szám jön ki.

A (n) = 2n

A szekvenciák olyan funkcióknak tekinthetők, amelyek be- és kimenetei csak pozitív egész számokra korlátozódnak. A szekvenciák általában 1-vel kezdődnek. Ez azt jelenti, hogy A (0) értéke 1. A fenti szekvencia a következő:

A (n) = 1, 2, 4, 6, 8, 10,… ahol n = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…

Most vegye figyelembe a következő sorrendet:

A (n) = 2 x A (n-1)

Ezt a sorrendet rekurzívan definiáljuk. Más szavakkal, az adott elem értéke egy másik elem értékétől függ. Ez a sorrend így néz ki:

A (n) = 1, 2, 4, 8, 16,… ahol n = 0, 1, 2, 3, 4,…

Bármely elem meghatározása az előző elem kétszerese.

  • Az n = 4, 16 elem az előző elem kétszeresének felel meg.
  • Az n = 3, 8 elem az előző elem kétszerese.
  • Az n = 2 elem, a 4, az előző elem kétszerese.
  • Az n = 1, 2 elem az előző elem kétszeresének felel meg.
  • Az n = 0 elem, 1, a következő:

Az n = 0 elem nem definiálható rekurzívan. Nincs előző elem. Ezt alapesetnek nevezzük , és ez a rekurzív definíciók szükségszerű következménye. A kódban kifejezetten képviselni kell őket . Ezt a rekurzív szekvenciát a Java-ban így ábrázolhatnánk:

public int A(int n){ if (n == 0) return 1; return 2 * A(n - 1);}

Meg kell ismerkednie a rekurzív módszer anatómiájával. Vegye figyelembe az alapesetet: ha n értéke 0, akkor az elem értéke 1. Ellenkező esetben az elem az előző elem 2-szerese. Rekurzív módon meg kell hívnunk a metódust, hogy megkapjuk az előző elem értékét, majd megszorozzuk 2-vel. Valamennyi rekurzív módszernek ez a két összetevője lesz:

  • Alapeset, amely jól definiált értéket ad vissza.
  • Rekurzív eset, amely rekurzívan definiált értéket ad vissza.

Tegyünk egy másik példát, folytatva a matematikai kontextust. A rekurzió szemléltetésére gyakran a Fibonacci szekvenciát használják. A Fibonacci-szekvencia bármely eleme a két előző elem összege. Így hangzik:

F (n) = 1, 1, 2, 3, 5, 8,… ahol n = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…

  • Az n = 5, elem, 8 az n = 4 elem és az n = 3 elem összegeként definiálódik.

Ezen a ponton habozzon. Az előző példában minden elem csak egy másik elemtől függött, most minden elem két másik elemtől függ. Ez bonyolítja a dolgokat.

  • Az n = 4 elem, az 5, az n = 3 és az n = 2 elem összege.
  • Az n = 3 elem, a 3, az n = 2 és az n = 1 elem összege.
  • Az n = 2 elem, a 2, az n = 1 elem és az n = 0 elem összege.
  • Az n = 1 elem, az 1, az n = 0 elem és… összege.

Az n = 1 elem nem definiálható rekurzívan. Az n = 0 elem sem. Ezeket az elemeket nem lehet rekurzívan definiálni, mert a rekurzív definícióhoz két előző elemre van szükség. Az n = 0 elemnek nincsenek elõzõ elemei, az n = 1 elemnek pedig csak egy elõzõ eleme van. Ez azt jelenti, hogy két alapeset van. Mielőtt bármilyen kódot írnék, leírnék valami ilyesmit:

Az n = 0 elem meghatározása 1. Az n = 1 elem meghatározása 1.

Az n elemet az n-1 elem és az n-2 elem összegeként határozzuk meg.

Most van egy elképzelésünk arról, hogyan definiáljuk ezt a feladatot rekurzív módon, és továbbléphetünk, és írhatunk néhány kódot. Sohakezdje el a kód írását anélkül, hogy először természetes módon megértené a feladatot.

public int F(int n) if (n == 0 

A Call Stack

Programozóként szeretnénk intuíciót szerezni a rekurzióhoz, hogy ezt felhasználhassuk dolgok elvégzésére. Ehhez hatékonyan meg kell értenünk, hogy a számítógép hogyan dolgozza fel a rekurziót.

Van egy adatstruktúra, hogy a számítógép által használt nyomon követheti metódushívások úgynevezett hívási verem . Minden metódushívás helyi változókat hoz létre a metódus paramétereiből. A számítógépnek tárolnia kell ezeket a változókat a módszer végrehajtása közben. Ezután a számítógép elárasztja az értékeket, amikor a módszer visszatér, hogy elkerülje a memória pazarlását.

The call stack (and stacks in general) function as you might imagine some sort of real-life stack would. Imagine a stack of papers on your desk — it starts as nothing, and then you add papers one by one. You don’t know anything about any of the papers in the stack except for the paper on top. The only way you can remove papers from the stack is by taking them off the top, one-by-one, in the opposite order that they were added.

This is essentially how the call stack works, except the items in the stack are activation records instead of papers. Activation records are just little pieces of data that store the method name and parameter values.

Without recursion, the call stack is pretty simple. Here’s an example. If you had some code that looked like this…

public static void main(String[] args) System.out.println(myMethod(1));

…The call stack would look like this:

* myMethod(int a)
* main(String[] args)

Here we see two methods under execution, main and myMethod. The important thing to notice is that main cannot be removed from the stack until myMethod is removed from the stack. In other words, main cannot complete until myMethod is called, executed, and returns a value.

This is true for any case of method composition (a method within a method) — so let’s look at recursive example: the A(int n) method we wrote earlier. Your code might look like this:

public static void main(String[] args) System.out.println(A(4));
public static int A(int n){ if (n == 0) return 1; return 2 * A(n - 1);}

When main is called, A is called. When A is called, it calls itself. So the call stack will start building up like so:

* A(4)* main(String[] args)

A(4) calls A(3).

* A(3)* A(4)* main(String[] args)

Now, it’s important to note that A(4) cannot be removed from the call stack until A(3) is removed from the call stack first. This makes sense, because the value of A(4) depends on the value of A(3). The recursion carries on…

* A(0)* A(1)* A(2)* A(3)* A(4)* main(String[] args)

When A(0) is called, we have reached a base case. This means that the recursion is completed, and instead of making a recursive call, a value is returned. A(0) comes off the stack, and the rest of the calls are then able to come off the stack in succession until A(4) is finally able to return its value to main.

Here’s the intuition: the return value of any method call depends on the return value of another method call. Therefore, all the method calls must be stored in memory until a base case is reached. When the base case is reached, the values start becoming well-defined instead of recursively defined. For example, A(1) is recursively defined until it knows the definition of the base case, 1. Then, it is well-defined as 2 times 1.

When we are trying to solve problems with recursion, it is often more effective to think about the order in which values are returned. This is the opposite of the order in which calls are made. This order is more useful because it consists of well-defined values, instead of recursively defined values.

For this example, it is more useful to consider that A(0) returns 1, and then A(1) returns 2 times 1, and then A(2) returns 2 times A(1), and so on. However, when we are writing our code, it can easier to frame it in the reverse order (the order that the calls are made). This is another reason that I find it helpful to write the base case and the recursive case down before writing any code.

Helper Methods and Recursion vs. Loops

We are programmers, not mathematicians, so recursion is simply a tool. In fact, recursion is a relatively simple tool. It’s very similar to loops in that both loops and recursion induce repetition in the program.

You may have heard that any repetitive task can be done using either a while loop or a for loop. Some tasks lend themselves better to while loops and other tasks lend themselves better to for loops.

The same is true with this new tool, recursion. Any repetitive task can be accomplished with either a loop or recursion, but some tasks lend themselves better to loops and others lend themselves better to recursion.

When we use loops, it is sometimes necessary to make use of a local variable to “keep track” of a calculation. Here’s an example.

public double sum (double[] a){ double sum = 0.0; for (int i = 0; i < a.length; i++) sum += a[i]; return sum;
}

This method takes an array of doubles as a parameter and returns the sum of that array. It uses a local variable, sum, to keep track of the working sum. When the loop is completed, sum will hold the actual sum of all values in the array, and that value is returned. This method actually has two other local variables that are less obvious. There is the double array a, whose scope is the method, and the iterator i (keeps track of the index), whose scope is the for loop.

What if we wanted to accomplish this same task using recursion?

public double recursiveSum(double[] a) # recursively calculate sum

This task is repetitive, so it is possible to do it using recursion, though it is probably more elegantly accomplished using a loop. We just need to create a few local variables to keep track of the working sum and the index, right?

Alas, this is impossible. Local variables only exist in the context of a single method call, and recursion makes use of repeated method calls to accomplish a repetitive task. This means that local variables are pretty much useless when we are using recursion. If you are writing a recursive method and you feel as though you need a local variable, you probably need a helper method.

A helper method is a recursive method that makes use of additional parameters to keep track of values. For recursiveSum, our helper method might look like this:

public double recursiveSum(double[] a, double sum, int index){ if (index == a.length) return sum; sum += a[index]; return recursiveSum(a, sum, index + 1);}

This method builds the sum by passing the working value to a new method call with the next index. When there are no more values in the array, the working sum is the actual sum.

Now we have two methods. The “starter method,” and the helper method.

public double recursiveSum(double[] a) # recursively calculate sum
public double recursiveSum(double[] a, double sum, int index){ if (index == a.length) return sum; sum += a[index]; return recursiveSum(a, sum, index + 1);}

The term “helper method” is actually a bit of a misnomer. It turns out that the helper method does all the work, and the other method is just a starter. It simply calls the helper method with the initial values that start the recursion.

public double recursiveSum(double[] a) return recursiveSum(a, 0.0, 0);
public double recursiveSum(double[] a, double sum, int index){ if (index == a.length) return sum; sum += a[index]; return recursiveSum(a, sum, index + 1);}

Note that the values used in the starter call to the helper method are the same values used to initialize the local variables in the loop example. We initialize the variable used to keep track of the sum to 0.0, and we initialize the variable used to keep track of the index to 0.

Earlier, I said that local variables are useless in the context of recursion. This isn’t completely true, because the method parameters are indeed local variables. They work for recursion because new ones are created every time the method is called. When the recursion is executed, there are many method calls being stored in the call stack, and as a result there are many copies of the local variables.

You might ask, “If the helper method does all the work, why do we even need the starter method? Why don’t we just call the helper method with the initial values, and then you only need to write one method?”

Well, remember that we were trying to replace the method that used a for loop. That method was simple. It took an array as a parameter and returned the sum of the array as a double. If we replaced this method with one that took three parameters, we would have to remember to call it with the proper starting values. If someone else wanted to use your method, it would be impossible if he or she didn’t know the starting values.

For these reasons, it makes sense to add another method that takes care of these starting values for us.

Wrapping up

Recursion is a pretty challenging concept, but you made it all the way to the end of my explanation. I hope you understand the magic a little better. I now officially grant you the title of “Grand-Wizard of Recursion.” Congratulations!