Hogyan működnek a naiv Bayes osztályozók - Python kód példákkal

A naiv Bayes osztályozók (NBC) egyszerű, de mégis hatékony Machine Learning algoritmusok. Ezek feltételes valószínűségen és Bayes tételén alapulnak.

Ebben a bejegyzésben elmagyarázom az NBC mögött rejlő "trükköt", és hozok egy példát, amelyet felhasználhatunk egy osztályozási probléma megoldására.

A következő szakaszokban az NBC mögött álló matematikáról fogok beszélni. Ha nem érdekli a matematika, nyugodtan hagyja ki ezeket a szakaszokat, és lépjen a megvalósítás részhez.

A megvalósítás részben bemutatok egy egyszerű NBC algoritmust. Akkor osztályozási probléma megoldására használjuk fel. A feladat annak meghatározása lesz, hogy a Titanic bizonyos utasai túlélték-e a balesetet, vagy sem.

Feltételes valószínűség

Mielőtt magáról az algoritmusról beszélnénk, beszéljünk a mögötte álló egyszerű matematikáról. Meg kell értenünk, mi a feltételes valószínűség, és hogyan használhatjuk Bayes tételét annak kiszámításához.

Gondolj egy tisztességes kockára, hat oldalával. Mennyi a valószínűsége a hatos megszerzésének a kockadobásnál? Ez egyszerű, 1/6. Hat lehetséges és egyformán valószínű eredményünk van, de csak az egyik érdekel. Tehát 1/6 van.

De mi történik, ha elmondom, hogy már dobtam a kockát, és az eredmény páros szám? Mennyi a valószínűsége, hogy most hatot kaptunk?

Ezúttal a lehetséges kimenetel csupán három, mert a kockákon csak három páros szám található. Még mindig csak az egyik ilyen eredmény érdekel bennünket, így most nagyobb a valószínűsége: 1/3. Mi a különbség mindkét eset között?

Az első esetben nem volt előzetes információnk az eredményről. Így minden lehetséges eredményt figyelembe kellett vennünk.

A második esetben azt mondták nekünk, hogy az eredmény páros szám volt, így a lehetséges eredmények terét csak a három páros számra csökkenthetjük, amelyek egy szokásos hatoldalú kockán jelennek meg.

Általánosságban elmondható, hogy az A esemény valószínűségének kiszámításakor, figyelembe véve egy másik B esemény bekövetkezését, azt mondjuk, hogy kiszámítjuk egy adott B feltételes valószínűségét , vagy csak egy adott A valószínűségét. Jelöljük P(A|B).

Például a valószínűsége, hogy egy hat tekintettel arra, hogy a szám már megvan még: P(Six|Even) = 1/3. Itt a Six-el jelöltük a hatos megszerzésének az eseményét, a Even- el pedig a páros szám megszerzésének az eseményét.

De hogyan számoljuk ki a feltételes valószínűségeket? Van valamilyen képlet?

Hogyan számoljuk ki a feltételes próbákat és Bayes-tételt

Most adok egy pár képletet a feltételes próbák kiszámításához. Ígérem, hogy nem lesznek nehézek, és fontosak, ha meg akarja érteni a Machine Learning algoritmusok betekintését, amelyekről később beszélünk.

Az A esemény valószínűsége egy másik B esemény bekövetkezése esetén a következőképpen számítható:

P(A|B) = P(A,B)/P(B) 

Ahol P(A,B)az A és a B egyidejű előfordulásának valószínűségét, és a B P(B)valószínűségét jelöli.

Figyeljük meg, hogy szükségünk van rá, P(B) > 0mert nincs értelme az adott B valószínűségéről beszélni, ha B előfordulása nem lehetséges.

Kiszámíthatjuk az A esemény valószínűségét is, figyelembe véve a B1, B2, ..., Bn több esemény előfordulását:

P(A|B1,B2,...,Bn) = P(A,B1,B2,...,Bn)/P(B1,B2,...,Bn) 

Van még egy módja a feltételes próbák kiszámításának. Ez az úgynevezett Bayes-tétel.

P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) P(A|B1,B2,...,Bn) = P(B1,B2,...,Bn|A)P(A)/P(B1,B2,...,Bn) 

Figyeljük meg, hogy az A esemény valószínűségét az adott B eseményre számítva az események előfordulási sorrendjének megfordításával számoljuk .

Most feltételezzük, hogy bekövetkezett az A esemény, és ki akarjuk számolni a B esemény (vagy a második és egy általánosabb példában a B1, B2, ..., Bn események) valószínűségét.

Fontos tény, amely ebből a tételből levezethető, a számítási képlet P(B1,B2,...,Bn,A). Ezt hívják a valószínűségek láncszabályának.

P(B1,B2,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2,B3,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)P(B3, B4, ..., Bn, A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)...P(Bn | A)P(A) 

Ez egy csúnya formula, nem igaz? De bizonyos körülmények között megoldást tehetünk és elkerülhetjük.

Beszéljünk az utolsó koncepcióról, amelyet ismernünk kell az algoritmusok megértéséhez.

Függetlenség

Az utolsó koncepció, amelyről beszélni fogunk, a függetlenség. Azt mondjuk, hogy az A és B esemény független, ha

P(A|B) = P(A) 

Ez azt jelenti, hogy az A esemény valószínűségét nem befolyásolja a B esemény bekövetkezése. Ennek közvetlen következménye az P(A,B) = P(A)P(B).

Egyszerű angolul ez azt jelenti, hogy mind az A, mind a B egyidejű előfordulásának valószínűsége megegyezik az A és B események külön-külön előforduló prob-szorzatainak szorzatával.

Ha A és B független, akkor az is megállapítja, hogy:

P(A,B|C) = P(A|C)P(B|C) 

Most készek vagyunk beszélni a Naiv Bayes osztályozókról!

Naiv Bayes osztályozók

Tegyük fel, hogy van egy vektor X az n funkciók és meg akarjuk határozni az osztályt, ami a vektor egy sor k osztályok y1, y2, ..., yk . Például, ha azt akarjuk meghatározni, hogy esni fog-e ma vagy sem.

Két lehetséges osztályunk van ( k = 2 ): eső , nem eső , és a jellemzők vektorának hossza 3 lehet ( n = 3 ).

Az első jellemző az lehet, hogy felhős vagy napos, a második pedig az, hogy magas vagy alacsony a páratartalom, a harmadik pedig az, hogy magas, közepes vagy alacsony a hőmérséklet.

Tehát ezek lehetséges jellemzővektorok lehetnek.

Our task is to determine whether it'll rain or not, given the weather features.

After learning about conditional probabilities, it seems natural to approach the problem by trying to calculate the prob of raining given the features:

R = P(Rain | Cloudy, H_High, T_Low) NR = P(NotRain | Cloudy, H_High, T_Low) 

If R > NR we answer that it'll rain, otherwise we say it won't.

In general, if we have k classes y1, y2, ..., yk, and a vector of n features X = , we want to find the class yi that maximizes

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn, yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Notice that the denominator is constant and it does not depend on the class yi. So, we can ignore it and just focus on the numerator.

In a previous section, we saw how to calculate P(X1, X2,..., Xn, yi) by decomposing it in a product of conditional probabilities (the ugly formula):

P(X1, X2,..., Xn, yi) = P(X1 | X2,..., Xn, yi)P(X2 | X3,..., Xn, yi)...P(Xn | yi)P(yi) 

Assuming all the features Xi are independent and using Bayes's Theorem, we can calculate the conditional probability as follows:

P(yi | X1, X2,..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

And we just need to focus on the numerator.

By finding the class yi that maximizes the previous expression, we are classifying the input vector. But, how can we get all those probabilities?

How to calculate the probabilities

When solving these kind of problems we need to have a set of previously classified examples.

For instance, in the problem of guessing whether it'll rain or not, we need to have several examples of feature vectors and their classifications that they would be obtained from past weather forecasts.

So, we would have something like this:

...  -> Rain  -> Not Rain  -> Not Rain ... 

Suppose we need to classify a new vector . We need to calculate:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain)P(H_Low | T_Low, Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

We get the previous expression by applying the definition of conditional probability and the chain rule. Remember we only need to focus on the numerator so we can drop the denominator.

We also need to calculate the prob for NotRain, but we can do this in a similar way.

We can find P(Rain) = # Rain/Total. That means counting the entries in the dataset that are classified with Rain and dividing that number by the size of the dataset.

To calculate P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain) we need to count all the entries that have the features H_Low, T_Low and Cloudy. Those entries also need to be classified as Rain. Then, that number is divided by the total amount of data. We calculate the rest of the factors of the formula in a similar fashion.

Making those computations for every possible class is very expensive and slow. So we need to make assumptions about the problem that simplify the calculations.

Naive Bayes Classifiers assume that all the features are independent from each other. So we can rewrite our formula applying Bayes's Theorem and assuming independence between every pair of features:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | Rain)P(H_Low | Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

Now we calculate P(Cloudy | Rain) counting the number of entries that are classified as Rain and were Cloudy.

The algorithm is called Naive because of this independence assumption. There are dependencies between the features most of the time. We can't say that in real life there isn't a dependency between the humidity and the temperature, for example. Naive Bayes Classifiers are also called Independence Bayes, or Simple Bayes.

The general formula would be:

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Remember you can get rid of the denominator. We only calculate the numerator and answer the class that maximizes it.

Now, let's implement our NBC and let's use it in a problem.

Let's code!

I will show you an implementation of a simple NBC and then we'll see it in practice.

The problem we are going to solve is determining whether a passenger on the Titanic survived or not, given some features like their gender and their age.

Here you can see the implementation of a very simple NBC:

class NaiveBayesClassifier: def __init__(self, X, y): ''' X and y denotes the features and the target labels respectively ''' self.X, self.y = X, y self.N = len(self.X) # Length of the training set self.dim = len(self.X[0]) # Dimension of the vector of features self.attrs = [[] for _ in range(self.dim)] # Here we'll store the columns of the training set self.output_dom = {} # Output classes with the number of ocurrences in the training set. In this case we have only 2 classes self.data = [] # To store every row [Xi, yi] for i in range(len(self.X)): for j in range(self.dim): # if we have never seen this value for this attr before, # then we add it to the attrs array in the corresponding position if not self.X[i][j] in self.attrs[j]: self.attrs[j].append(self.X[i][j]) # if we have never seen this output class before, # then we add it to the output_dom and count one occurrence for now if not self.y[i] in self.output_dom.keys(): self.output_dom[self.y[i]] = 1 # otherwise, we increment the occurrence of this output in the training set by 1 else: self.output_dom[self.y[i]] += 1 # store the row self.data.append([self.X[i], self.y[i]]) def classify(self, entry): solve = None # Final result max_arg = -1 # partial maximum for y in self.output_dom.keys(): prob = self.output_dom[y]/self.N # P(y) for i in range(self.dim): cases = [x for x in self.data if x[0][i] == entry[i] and x[1] == y] # all rows with Xi = xi n = len(cases) prob *= n/self.N # P *= P(Xi = xi) # if we have a greater prob for this output than the partial maximum... if prob > max_arg: max_arg = prob solve = y return solve 

Here, we assume every feature has a discrete domain. That means they take a value from a finite set of possible values.

The same happens with classes. Notice that we store some data in the __init__ method so we don't need to repeat some operations. The classification of a new entry is carried on in the classify method.

This is a simple example of an implementation. In real world applications you don't need (and is better if you don't make) your own implementation. For example, the sklearn library in Python contains several good implementations of NBC's.

Notice how easy it is to implement it!

Now, let's apply our new classifier to solve a problem. We have a dataset with the description of 887 passengers on the Titanic. We also can see whether a given passenger survived the tragedy or not.

So our task is to determine if another passenger that is not included in the training set made it or not.

In this example, I'll be using the pandas library to read and process the data. I don't use any other tool.

The data is stored in a file called titanic.csv, so the first step is to read the data and get an overview of it.

import pandas as pd data = pd.read_csv('titanic.csv') print(data.head()) 

The output is:

Survived Pclass Name \ 0 0 3 Mr. Owen Harris Braund 1 1 1 Mrs. John Bradley (Florence Briggs Thayer) Cum... 2 1 3 Miss. Laina Heikkinen 3 1 1 Mrs. Jacques Heath (Lily May Peel) Futrelle 4 0 3 Mr. William Henry Allen Sex Age Siblings/Spouses Aboard Parents/Children Aboard Fare 0 male 22.0 1 0 7.2500 1 female 38.0 1 0 71.2833 2 female 26.0 0 0 7.9250 3 female 35.0 1 0 53.1000 4 male 35.0 0 0 8.0500 

Notice we have the Name of each passenger. We won't use that feature for our classifier because it is not significant for our problem. We'll also get rid of the Fare feature because it is continuous and our features need to be discrete.

There are Naive Bayes Classifiers that support continuous features. For example, the Gaussian Naive Bayes Classifier.

y = list(map(lambda v: 'yes' if v == 1 else 'no', data['Survived'].values)) # target values as string # We won't use the 'Name' nor the 'Fare' field X = data[['Pclass', 'Sex', 'Age', 'Siblings/Spouses Aboard', 'Parents/Children Aboard']].values # features values 

Then, we need to separate our data set in a training set and a validation set. The later is used to validate how well our algorithm is doing.

print(len(y)) # >> 887 # We'll take 600 examples to train and the rest to the validation process y_train = y[:600] y_val = y[600:] X_train = X[:600] X_val = X[600:] 

We create our NBC with the training set and then classify every entry in the validation set.

We measure the accuracy of our algorithm by dividing the number of entries it correctly classified by the total number of entries in the validation set.

## Creating the Naive Bayes Classifier instance with the training data nbc = NaiveBayesClassifier(X_train, y_train) total_cases = len(y_val) # size of validation set # Well classified examples and bad classified examples good = 0 bad = 0 for i in range(total_cases): predict = nbc.classify(X_val[i]) # print(y_val[i] + ' --------------- ' + predict) if y_val[i] == predict: good += 1 else: bad += 1 print('TOTAL EXAMPLES:', total_cases) print('RIGHT:', good) print('WRONG:', bad) print('ACCURACY:', good/total_cases) 

The output:

TOTAL EXAMPLES: 287 RIGHT: 200 WRONG: 87 ACCURACY: 0.6968641114982579 

It's not great but it's something. We can get about a 10% accuracy improvement if we get rid of other features like Siblings/Spouses Aboard and Parents/Children Aboard.

You can see a notebook with the code and the dataset here

Conclusions

Today, we have neural networks and other complex and expensive ML algorithms all over the place.

NBCs are very simple algorithms that let us achieve good results in some classification problems without needing a lot of resources. They also scale very well, which means we can add a lot more features and the algorithm will still be fast and reliable.

Even in a case where NBCs were not a good fit for the problem we were trying to solve, they might be very useful as a baseline.

We could first try to solve the problem using an NBC with a few lines of code and little effort. Then we could try to achieve better results with more complex and expensive algorithms.

This process can save us a lot of time and gives us an immediate feedback about whether complex algorithms are really worth it for our task.

In this article you read about conditional probabilities, independence, and Bayes's Theorem. Those are the Mathematical concepts behind Naive Bayes Classifiers.

After that, we saw a simple implementation of an NBC and solved the problem of determining whether a passenger on the Titanic survived the accident.

I hope you found this article useful. You can read about Computer Science related topics in my personal blog and by following me on Twitter.