Simpson szabálya: A képlet és hogyan működik

Programozás

Simpson szabálya a numerikus integráció módszere. Más szavakkal, ez a határozott integrálok numerikus közelítése.

Simpson szabálya a következő:

Benne,

  • f(x)integrandnak nevezzük
  • a = az integráció alsó határa
  • b = az integráció felső határa

Simpson 1/3 szabálya

Amint a fenti diagramon látható, az integrandust f(x)egy másodrendű polinommal közelítjük; a másodfokú interpoláns lény P(x).

A közelítés következik,

Cseréje (b-a)/2, mint hmi kap,

Mint látható, 1/3a fenti kifejezésnek van egy tényezője . Ezért hívják Simpson 1/3 szabályának .

Ha egy függvény erősen oszcilláló, vagy bizonyos pontokban hiányzik a derivált, akkor a fenti szabály nem biztos, hogy pontos eredményt ad.

Ennek általános kezelési módja az összetett Simpson-féle szabály megközelítés. Ehhez [a,b]bontson fel kisebb részintervallumokra, majd alkalmazza a Simpson-szabályt az egyes alintervallumokra. Ezután összesítse az egyes számítások eredményeit, hogy közelítést nyújtson a teljes integrálra.

Ha az intervallum részintervallumokra [a,b]van felosztva n, és npáros szám, akkor az összetett Simpson-szabályt a következő képlettel számoljuk:

ahol X j = a + JH számára J = 0,1, ..., n-1, n és h = (ba) / n ; különösen x 0 = a és x n = b .

Példa a C ++ nyelven:

Az alábbiakban megadott integrál értékének közelítésére, ahol n = 8:

#include #include using namespace std; float f(float x) { return x*sin(x); //Define the function f(x) } float simpson(float a, float b, int n) { float h, x[n+1], sum = 0; int j; h = (b-a)/n; x[0] = a; for(j=1; j<=n; j++) { x[j] = a + h*j; } for(j=1; j<=n/2; j++) { sum += f(x[2*j - 2]) + 4*f(x[2*j - 1]) + f(x[2*j]); } return sum*h/3; } int main() { float a,b,n; a = 1; //Enter lower limit a b = 4; //Enter upper limit b n = 8; //Enter step-length n if (n%2 == 0) cout<

Simpson's 3/8 Rule

Simpson's 3/8 rule is similar to Simpson's 1/3 rule, the only difference being that, for the 3/8 rule, the interpolant is a cubic polynomial. Though the 3/8 rule uses one more function value, it is about twice as accurate as the 1/3 rule.

Simpson’s 3/8 rule states :

Replacing (b-a)/3 as h, we get,

Simpson’s 3/8 rule for n intervals (n should be a multiple of 3):

where xj = a+jh for j = 0,1,…,n-1,n with h=(b-a)/n; in particular, x0 = a and xn = b.